Alors que le calcul mathématique semblait être une notion théorique, elle se révèle de plus en plus utile dans la vie de tous les jours. Plus encore, les mathématiques participent grandement au bon fonctionnement de la société. Elles nous permettent non seulement de mieux raisonner, mais aussi de rester cohérents dans nos pensées. Concrètement, en plus de ses propriétés antistress, les maths ont également la capacité de nous apprendre à bien analyser pour prendre des décisions plus rationnelles et réfléchies. Parmi les expressions mathématiques, les identités remarquables ont été faites pour résoudre et faire un calcul littéral. Dans les faits, cette technique permet de gérer et de résoudre une situation complexe. Plus de détails.
Qu’est-ce que c’est ?
Sur le plan mathématique, une identité remarquable, aussi appelée égalité remarquable, représente une égalité qui s’applique à des nombres ou en général à des variables polynomiales. Autrement dit un produit ou une somme qui peuvent comporter des variables de différents degrés, des coefficients ou encore des exposants positifs et des constantes, communément notées X, Y, Z. Pour l’histoire, ces formules mathématiques invariables sont utilisées depuis la période des Babyloniens avant de trouver leur place dans le programme scolaire secondaire à partir de la classe de 5e et 4e. Elles sont néanmoins plus élargies à partir de la classe de 3e. Dans les faits, le programme de maths de la classe de 3e se subdivise en 5 grandes parties, et l’identité remarquable est incluse dans la sous partie du programme « le nombre et calcul ». Dans les faits, ces expressions algébriques permettent de simplifier tous les types de calculs. Entre autres, les identités remarquables servent principalement à résoudre une équation. Ainsi, on peut distinguer 3 catégories d’identités remarquables :
- la première égalité remarquable : (a+ b)² = a² + 2ab + b² ;
- la deuxième égalité remarquable : (a-b)² = a² – 2ab + b² ;
- la troisième égalité remarquable : (a+ b) (a-b) = a² – b².
Utilité ?
Les identités remarquables sont des formules mathématiques représentées par « a » et « b ». Ces dernières appartiennent à un ensemble « R ». Dans les faits, celle-ci correspond à une égalité applicable à un nombre. En pratique, quelle est la vraie utilité de l’identité remarquable ? Tout d’abord, grâce aux raisonnements géométriques et généralisés, les identités remarquables peuvent simplifier ou accélérer une opération. D’ailleurs, elles sont généralement utilisées pour développer et factoriser des polynomiales. Ensuite, les identités remarquables permettent également de faciliter l’écriture de certaines équations, plus particulièrement les équations de second degré. Pour rappel, une équation désigne une forme propositionnelle dans laquelle intervient une égalité entre deux expressions mathématiques qui soient vraies ou fausses.
Fonctionnement
Vous l’aurez compris, les identités remarquables s’avèrent particulièrement utiles pour développer ou factoriser rapidement des expressions littérales. A condition bien évidemment de bien les comprendre comment ça fonctionne exactement. Voici les différentes règles à connaître :
La première identité remarquable (carré d’une somme)
(a+ b)² = a² + 2 × a × b + b², mais on peut l’écrire également : (a+ b)² = a² + 2ab + b². Concrètement, ici : a² + b² est une « somme des carrés » et 2 × a × b ou 2ab est le « double produit ». Pour appliquer la première identité, il faudra utiliser la formule de base suivante : (a+ b) 2 = (a+ b) (a+ b), cela équivaut à a × a + a × b + b × a + b × b= a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2
La deuxième identité remarquable (carré d’une différence)
(a – b)² = a² – 2ab + b². A noter qu’il n’est pas obligatoire de mettre une lettre ou des parenthèses derrière un signe multiplié. un signe multiplié devant une lettre ou des parenthèses n’est pas toujours obligé à mettre. De plus, on peut développer 2ab comme 2 × a × b. Voici la formule à appliquer pour la deuxième identité remarquable : (a-b) 2 = (a-b) (a-b). Ce qui équivaut donc à « a × a — a × b — b × a + b × b »= a2 — ab — ab + b2 = a2 — 2ab + b2
La troisième identité remarquable (produit de la somme par la différence)
(a + b) (a – b) = a² – b². Attention à la place du signe moins (-) dans la formule. (–b + a) (b + a) = –b² + a². Il faut savoir qu’il n’existe aucun type d’identité remarquable qui permet de factoriser a² + b². En revanche, si vous avez une expression du type –b² + a², vous pouvez procéder à la factorisation puisque –b² + a² = a² – b². Il n’y a pas d’identité remarquable permettant de factoriser a² + b² mais attention, si l’expression donnée est du type ‘ -b² + a² ‘, on pourrait la factoriser car : -b² + a² = a² – b². En ce qui concerne la formule et la multiplication de la troisième identité remarquable, elles se présentent comme suit : (a+ b) (a-b) = a × a – a × b – b × a – b × b = a2 – ab + ab – b2 = a2 – b2. Il est crucial de retenir qu’on ne peut pas utiliser les identités remarquables uniquement si lorsque l’équation correspond à l’expression.
Exemples
Voici quelques exemples d’équation avec une identité remarquable :
x2 + 8x + 16 = 0
On utilise ici l’identité remarquable de type : a2 + 2ab +b2 = (a+ b) 2
En cherchant à identifier une identité remarquable dans l’équation x2 + 8x + 16 = 0, on s’aperçoit que cette équation peut s’écrire également : x2 + 2X4Xx + 6² = 0
Donc, si on applique l’identité remarquable de type : a2 + 2ab +b2 = (a+ b) 2, on obtient après (x+4)² = 0
Traitons plusieurs exemples pour mieux illustrer ces expressions
Commençons tout d’abord par des exemples plus simples.
(x + 5) 2 : ici il s’agit d’appliquer la première formule dont a2 + 2ab +b2 = (a+ b) 2 avec a = x et b = 5.
Puis, l’équation devient :
(x + 5) 2 = x2 + 2*x* 5 + 25
(x + 5) 2 = x2 + 10x + 25
Ensuite, prenons un autre exemple du même type :
(x — 3) 2 : ici il s’agit d’appliquer la deuxième formule dont (a — b)² = a² – 2ab + b² avec a = x et b = 3.
Ce qui par là va donner :
(x — 3) 2 = x2 — 2*x* 3 + 32
(x — 3) 2 = x2 — 6x + 9
Pour mieux comprendre le principe, nous avons un autre exemple à vous montrer :
(x + 7) (x — 7) : ici il s’agit d’appliquer la troisième formule dont (a + b) (a — b) = a² – b² avec a = x et b = 7.
Le résultat est donc :
(x + 7) (x — 7) = x2 – 72
(x + 7) (x — 7) = x2 – 49
Notons que pour pouvoir appliquer la troisième formule des identités remarquables, il faut que le « a » et le « b » soient identiques dans les deux parenthèses ! Concrètement, si nous avons (x + 7) (x – 5), il ne sera pas possible de faire le calcul puisque le « b » n’est pas pareil dans les deux parenthèses. De même, si nous prenons (2x + 7) (3x – 7), il ne sera pas également possible de faire le calcul.
Enfin, prenons cette fois-ci un exemple plus complexe :
(√7 + 5) 2 : ici, il s’agit d’appliquer la première formule (a+ b)² = a² + 2 × a × b + b² avec l’expression a = √7 et b = 5.
Cela va donner :
(√7 + 5) 2 = (√7) 2 + 2*(√7)*5 + 52
